Exponentialfunktion

Zerfallsvorgang:

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet: f(x) = a·e^−k·x mit a, k, x ∈ R, a>0, k>0

Anwendungsbeispiel:

Ein Auto wurde zu einem Preis von 15000 € angeschafft und verliert jedes Jahr 1/4 seines Wertes. Gesucht ist eine Formel zur Berechnung des jährlichen aktuellen Wertes AW.

Mit dem Kaufwert von 15000 € zum Zeitpunkt 0 lässt sich der Faktor a bestimmen:
15000 = a·e^−k·0 = a·e⁰ = a·1 = a

Mit einem weiteren Zahlenpaar aus der Tabelle wird jetzt der Wert für k ermittelt:
11250 = 15000·e^−k·1   Nach der Division durch 15000 entsteht: 0,75 = e^−k·1

Zur Lösung gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Die letzte Gleichung muss nun nach x aufgelöst werden. Hierfür benötigt man den Logarithmus: −k = log_e(0,75), d. h. −k = ln (0,75)
2. Man nutzt einen Taschenrechner mit CAS: solve(0,75=e^−k,k)

Das Ergebnis k ≈ −0,28769 liefert folgende Funktionsgleichung für die Wertabnahme: f(x) = 15000 €·e^{−0,28769·x}

Nach den Potenzgesetzen gilt auch: f(x) = 15000 €·(e^−0,28769)^x   = 15000 €·0,75^x

Die Funktionsgleichung bezieht sich darauf, dass der für die Variable x eingesetzte Zahlenwert mit der Einheit "Jahr" verwendet wird.

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